SpinnenwebHet begrip verzameling speelde in de jaren ’70 een belangrijke rol in ons wiskundeonderwijs. Met de nieuwe eindtermen is het terug van weggeweest. Onze leerlingen kennen de begrippen element, deelverzameling, unie, doorsnede en verschil. Deze begrippen worden in deze tekst uitgebreid naar algemenere begrippen.
In een verzameling komt elk element slechts één keer voor. We spreken bijvoorbeeld niet van de verzameling \(\{3, 4, 4\}\). Multiverzamelingen zijn een manier om een element toch meermaals te laten voorkomen. Het aantal keer dat een element voorkomt in een verzameling noemen we de multipliciteit. Elementen die niet in een multiverzameling voorkomen, hebben multipliciteit nul.
Stel dat je een multiverzameling \(A\) hebt met drie groene knikkers, twee rode en één blauwe. Dan is de multipliciteit van de groene knikker 3, die van rood 2 en die van blauw 1. Hou je van elke soort knikkers slechts eentje over, dan vind je de ondersteunende verzameling van de multiverzameling. In figuur 1 zie je een schematische voorstelling van de multiverzameling \(A\) en haar ondersteunende verzameling \(B\).
Figuur 1: Een multiverzameling en haar ondersteuning
De term multiset is in de jaren ’70 geïntroduceerd door de Nederlandse wiskundige Nicolaas Govert De Bruijn (1918-2012). Multiverzamelingen zijn minder bekend dan de gewone verzamelingen maar ze zijn ook zinvol. Denk bijvoorbeeld aan de multiverzameling van de priemdelers van 5000. Je zou de priemdelers kunnen omschrijven met de ondersteundende verzameling \(\{2, 5\}\) maar er zit meer informatie in de multiverzameling \(\{2, 2, 2, 5, 5, 5, 5\}\). Denk bijvoorbeeld ook aan de voorraad van een apotheker. Hij is niet alleen geïnteresseerd in welke medicijnen er nog in stock zijn maar ook in de multipliciteit van de voorradige medicijnen…
Inclusie, som, unie en doorsnede
Net zoals bij verzamelingen is er bij multiverzamelingen ook een inclusie gedefinieerd. Een multiverzameling \(C\) is omvat in een multiverzameling \(D\) als alle elementen van \(C\) ook in \(D\) zitten met minstens dezelfde multipliciteit. Zo is de multiverzameling \(C\) in figuur 2 omvat in de multiverzameling \(D\). Ook kunnen we stellen dat elke multiverzameling haar ondersteunende verzameling omvat.
Figuur 2: C is omvat in D
We geven hieronder nog enkele definities van begrippen die aan multisets gerelateerd zijn. Nadien volgen er vragen, die je kunt voorleggen aan leerlingen die meer interesse hebben in de theoretische grondslagen dan hun klasgenoten. Deze vragen stimuleren het abstracte denken en de taalvaardigheid.
De som van twee multiverzamelingen is de multiverzameling die je krijgt door de elementen van de gegeven multiverzamelingen samen te nemen met multipliciteiten die de som zijn van de gegeven multipliciteiten.
De unie van twee of meerdere multiverzamelingen is de kleinste multiverzameling die de gegeven multiverzamelingen omvat. De doorsnede van twee of meerdere multiverzamelingen is de grootste multiverzameling die omvat wordt door beide multiverzamelingen.
Twee of meerdere multiverzamelingen zijn disjunct als hun doorsnede ledig is. Een aantal multiverzamelingen kan ook paarsgewijze disjunct zijn. Dat betekent dat elk tweetal multiverzamelingen uit de gegeven multiverzamelingen disjunct is. Paarsgewijze disjunct zijn, is sterker dan disjunct zijn. Uit het paarsgewijze disjunct zijn van multiverzamelingen volgt disjunct zijn maar niet omgekeerd.
Tot slot, als een multiverzameling omvat is in een andere multiverzameling, dan definiëren we het verschil door alle elementen van de eerste multiverzameling uit de tweede multiverzameling weg te nemen. Ook voor twee willekeurige multiverzamelingen is het verschil gedefinieerd. Stel dat we het verschil \(D\) van \(M_1\) met \(M_2\) zoeken. Elk element van \(M_1\) dat in \(M_2\) voorkomt met een grotere multipliciteit, komt in \(D\) voor met multipliciteit 0. De andere elementen komen in \(D\) voor met een multipliciteit die het verschil is van de multipliciteiten in \(M_1\) en \(M_2\).
Even een voorbeeld. Als je naar de kruidenier gaat met een boodschappenlijstje dan zal de kruidenier na je aankoop het verschil in voorraad hebben van zijn oorspronkelijke stock en jouw boodschappenlijstje. Als je meer van een bepaald artikel nodig hebt dan er voorradig was, houdt de kruidenier niets meer over. Als je minder van een bepaald artikel nodig hebt dan de voorraad in de rekken, dan kun je kopen zoveel je wilt. De voorraad van de kruidenier wordt dan met zoveel eenheden verminderd als het aantal op je boodschappenlijstje.
In figuur 3 zie je een voorbeeld van multiverzamelingen \(A\) en \(B\) met hun som \(S\), hun unie \(U\), hun doorsnede \(D\) en hun verschil \(V\).
Figuur 3: Som, unie, doorsnede en verschil
Eigenschappen van multiverzamelingen
De unie van (gewone) verzamelingen en de doorsnede zijn commutatief en associatief. Bovendien is de unie van (gewone) verzamelingen distributief ten opzichte van de doorsnede. De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. Voor willekeurige verzamelingen \(A\), \(B\) en \(C\) kunnen we deze eigenschappen formuleren als:
\(A \cap B=B\cap A\qquad A\cup B=B\cup A\)
\((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) \qquad (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\)
\((A\cap B)\cup C= (A\cup C)\cap (B\cup C) \qquad (A\cup B)\cap C= (A\cap C)\cup (B\cap C)\,.\)
- Welke van deze zes eigenschappen gelden ook voor multiverzamelingen?
Ze zijn allemaal geldig voor multiverzamelingen. - Wat is het verband tussen de multipliciteiten van de elementen van een multiverzameling en het totale aantal elementen van de multiverzameling?
De som van alle multipliciteiten is gelijk aan het aantal elementen van de multiverzameling. - Om een milkshake te maken heb je ofwel een kiwi en een banaan nodig, ofwel twee kiwi’s en drie aardbeien. Hoe bereid je je voor op het maken van één enkele milkshake als je nog niet beslist hebt welke je zult maken? Druk je antwoord uit met een bewerking op multiverzamelingen.Je koopt alvast één banaan, twee kiwi’s en drie aarbeien. Deze multiverzameling is de unie van de multiverzamelingen \(A\) en \(B\) van de ingrediënten.
- Hoe bepaal je de multipliciteiten van de elementen van de som, de unie en de doorsnede van twee gegeven multiverzamelingen \(A\) en \(B\)?
Voor de som nemen we de som van de multipliciteiten van elk element uit \(A\) en \(B\). Voor de unie nemen we het maximum van de multipliciteiten van elk element in \(A\) en in \(B\). Voor de doorsnede nemen we het minimum. - Wat kun je zeggen over de multipliciteiten van de elementen van een aantal disjuncte multiverzamelingen? En van een aantal paarsgewijze disjuncte multiverzamelingen?
Bij disjuncte multiverzamelingen is de doorsnede ledig. Dat betekent dat voor elk element het minimum van de multipliciteiten van een bepaald element in elke multiverzameling gelijk is aan nul. Bij paarsgewijze disjuncte multiverzamelingen komt elk element slechts in één multiverzameling voor. Dat betekent dat voor elk element alle multipliciteiten op eentje na gelijk aan nul zijn. - Is de som van drie disjuncte multiverzamelingen gelijk aan de unie?
Voor twee multiverzamelingen is de som gelijk aan de unie als ze disjunct zijn. Zo niet, zal de som de unie omvatten. Bij de som worden de elementen uit de doorsnede immers dubbel meegeteld. Voor twee of meer multiverzamelingen is de som gelijk aan de unie als en slechts als de multiverzamelingen paarsgewijze disjunct zijn. Dit is een nodige en voldoende voorwaarde. Inderdaad, beschouw de multipliciteiten van een bepaald element in alle multiverzamelingen. We willen dat hun som gelijk is aan hun maximum. Dit kan enkel indien al deze multipliciteiten nul zijn behalve eentje. Hieruit leiden we af dat de multiverzamelingen paarsgewijze disjunct zijn.