Gras of klaver? Voorbeeld van een probleemoplossende aanpak

Problemen kunnen oplossen is een belangrijke troef voor het verder leven, zowel maatschappelijk als beroepsmatig. Problemen oplossen is echter niet ‘gewoon een talent’. De ene leerling zal er wel meer voeling voor hebben dan een andere. Toch is het kunnen oplossen van problemen ook aan te leren en kunnen leerlingen er steeds beter in worden. Ook in het hoger onderwijs hebben studenten die problemen kunnen oplossen een streepje voor. Daarom werd aan UHasselt een aantal keer de nascholing ‘het aanpakken van problemen’ georganiseerd. De volgende opgave was toen de kers op de taart.

Een tuinaannemer heeft een grasmat geleverd bij Soetkin thuis. Deze grasmat werd onkruidvrij beloofd. Maar bij het leggen van de grasmat merkt Soetkin toch nog een driehoekig stuk vol klaver op. De tuinaannemer relativeert dat klaver ook voor een groen gazon zorgt, maar Soetkin wil toch een egaal grasgazon. De tuinaannemer gaat akkoord om het driehoekig stuk met klaver te vervangen. Hij stuurt het op nadat Soetkin de afmetingen van de driehoek heeft doorgegeven.
Maar Soetkin kan de driehoek met klaver niet onmiddellijk vervangen. De afmetingen zijn correct maar de driehoek is gespiegeld. Een grasmat met de wortels bovenaan vindt ze geen alternatief. De grasmat kan wel versneden worden. Hoe kan Soetkin deze mat in zo weinig mogelijk stukken snijden zodat ze deze stukken kan omkeren en de grassprieten aan de bovenkant liggen?

 

We staan eerst nog even stil bij de omschrijving van een probleem. Wanneer is een opgave een probleem en geen vraagstuk?

Een probleem is een opgave die een uitdaging betekent voor de persoon die ze tracht op te lossen. Het is dus een relatief begrip. De oplossing van een probleem kan niet zomaar gevonden worden met behulp van routinehandelingen of parate kennis. Voor het oplossen van problemen zijn zoekstrategieën (heuristieken) nodig. Lange en ingewikkelde berekeningen (waarvoor men een algoritme of oplossingsstrategie kent en waarbij het heel waarschijnlijk is dat men een rekenfout zal maken) vormen geen probleem maar een complexe oefening. Bij een echt probleem zou de eerste reflex van de (voorbereide) leerling moeten zijn: ‘Dit herken ik niet. Ik moet zoeken hoe ik dit kan aanpakken’.

Het oefenen van probleemoplossende vaardigheden is voor veel leerlingen niet evident. Als leraar moeten we hen daarin ondersteunen. Enkel veel problemen aanbieden zonder hen aan te leren hoe ze problemen kunnen aanpakken, is onvoldoende.
Om problemen te kunnen oplossen zijn (wiskunde)kennis, het kunnen toepassen van zoekstrategieën (heuristieken) en het bezitten van metacognitieve vaardigheden onontbeerlijk. Enkel op dit laatste aspect gaan we in dit artikel niet verder in.

In de literatuur is de lijst met zoekstrategieën niet eenduidig. De volgende heuristieken vind je vaak terug:

• Maak een tekening
• Teken een hulplijn
• Probeer met een (getallen)voorbeeld (trial and error)
• Werk van achter naar voor
• Stel het probleem voor als opgelost
• Voer een onbekende in
• Gebruik alle gegevens
• Splits het probleem op in deelproblemen
• Los een (verwant) eenvoudiger probleem op
• Zoek een patroon
• Laat tijdelijk één voorwaarde vallen

Als je doorheen je lessen af en toe bij een zoekstrategie stilstaat, dan kan de leerling een arsenaal van zoekstrategieën verzamelen. Eventueel houden de leerlingen die zoals een formularium bij.

Zoekstrategieën kennen en ze gepast kunnen gebruiken is niet voldoende om met succes aan een probleem te beginnen. De leerlingen moeten ook voldoende wiskunde beheersen. Leerlingen die vlot hun kennis kunnen oproepen, hebben vaker succes bij het oplossen van problemen.

Men kan het probleem oplossen met verschillende wiskundige kennis: zwaartelijnen in rechthoekige driehoeken of ingeschreven en omschreven cirkels. Deze kennis komt vaak in het derde of vierde jaar aan bod.

Vaak bewijzen leerlingen met 5 uren wiskunde dit analytisch. Via de eigenschap van de middenparallel kun je het ook synthetisch aantonen.

Zoekstrategie: probeer met een voorbeeld

Vouw een blad papier met één kant wit en de andere kant in kleur (bijvoorbeeld een affiche) dubbel en knip een gelijke willekeurige driehoek uit beide bladzijden. Knip de vouw open en verwissel beide driehoeken. Je hebt dan twee grasmatten (het wit stelt bijvoorbeeld de wortels voor) met een ‘omgekeerde’ driehoek nieuw gras.

Vaak beginnen leerlingen dan in de driehoek te knippen. Op de zijde \([DE]\) nemen ze een punt \(P\) zodat \(|EP| = |EF|\). De driehoek FEP kunnen ze omdraaien en past in de grasmat omdat dit een gelijkbenige driehoek is. Niet elke leerling beseft hier dat ze een gelijkbenige driehoek hebben geknipt. Met het overblijvende stuk willen ze hetzelfde doen. Maar dan knippen ze misschien heel veel driehoeken en de bedoeling is om zo weinig mogelijk in de grasmat te snijden. Ze kunnen natuurlijk ook beslissen dat de driehoek die overblijft bijna een gelijkbenige driehoek is. Met wat gefoefel kan Soetkin die omdraaien en in de grasmat krijgen. Maar ‘foefelen’ is wiskundig geen correcte houding.

Door te proberen komen de leerlingen al een eerste stap in de richting van de oplossing: met gelijkbenige driehoeken kun je deze opgave oplossen.

Zoekstrategie: zoek een eenvoudiger probleem

Als het te vervangen stuk grasmat gelijkbenig is, dan is het probleem opgelost. De driehoek kan zonder snijwerk omgedraaid worden.

Dus als we de opgestuurde grasdriehoek kunnen verdelen in gelijkbenige driehoeken, dan kunnen we elk deel omdraaien.

Probleem: hoe kunnen we een driehoek in zo weinig mogelijk gelijkbenige driehoeken verdelen?

Zoekstrategie: los een eenvoudiger probleem op

Welke driehoek is gemakkelijk in gelijkbenige driehoeken te verdelen?

In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn op de schuine zijde de half zo lang als deze schuine zijde. Daardoor verdeelt deze zwaartelijn de rechthoekige driehoek in twee gelijkbenige driehoeken.

 

 

Dus als Soetkin de driehoek in rechthoekige driehoeken kan opdelen, dan kan ze deze twee rechthoekige driehoeken in gelijkbenige driehoeken verdelen. Hoe zij de omgekeerde grasmat moet snijden is aangeduid op figuur 3. Ze bepaalt eerst de hoogtelijn \([FS]\) op de langste zijde. \([EF]\) en \([DF]\) zijn dan de schuine zijden waarop ze opnieuw de zwaartelijnen tekent.

 

De driehoeken \(\Delta EUS\), \(\Delta FUS\), \(\Delta FTS\) en \(\Delta DTS\) zijn alle vier gelijkbenige driehoeken. Zij kunnen omgedraaid worden zodat de wortels naar de aarde toe liggen.

Zoekstrategie: Los een analoog probleem op

Het is niet verplicht om gelijkbenige driehoeken in de grasmat te zoeken. Het kan ook perfect met een andere symmetrische figuur. Leerlingen met een grote parate kennis linken dit aan de eigenschappen van raaklijnen aan een cirkel uit een punt: raaklijnen uit een punt aan een cirkel zijn even lang en raaklijnen staan loodrecht op een middellijn door het raakpunt.

 

Soetkin kan in de grasmat langs \([GH]\), \([GJ]\) en \([GK]\) snijden. De drie bekomen vierhoeken kunnen wegens hun symmetrie (even lange raaklijnen en straal van de cirkel) omgekeerd worden zodat de wortels onderaan liggen.
Met deze oplossing moet Soetkin slechts drie sneden maken en zijn de sneden zo kort mogelijk.

Merk op: de gegeven grasdriehoek is stomphoekig. Als het een scherphoekige driehoek was, kon je die op dezelfde manier in drie symmetrische vierhoeken verdelen. Een scherphoekige driehoek kun je echter ook in drie gelijkbenige driehoeken verdelen door gebruik te maken van het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De sneden zijn dan wel langer dan bij de verdeling in drie symmetrische vierhoeken…

Bij het voorleggen van dit klaverprobleem valt de schoonheid van de opgave weg als de tip gegeven wordt op welke eigenschap het een toepassing is. Deze oefening komt dus liefst niet aan bod vlak na het ontdekken van de eigenschap van de zwaartelijn op de schuine zijde of bij de ingeschreven cirkel van een driehoek. Daarom ook vind ik het meer toepasselijk als probleemopgave in het derde jaar dan in het vierde jaar. In het derde jaar moeten de leerlingen meerdere eigenschappen combineren.

Om problemen voldoende aan bod te laten komen zou de eerste reflex van de (voorbereide) leerling moeten zijn: ’Dit herken ik niet. Ik moet zoeken hoe ik dit kan aanpakken’. Daarom worden opgaves (vraagstukken) die door elkaar aangeboden worden (op een proefwerk bijvoorbeeld) nog geen problemen. Het eventueel niet herkennen van de opgave en niet meteen weten welke oplossingsmethode gebruikt kan worden, is in dit geval eerder te wijten aan een leemte in de kennisorganisatie dan aan het niet kunnen aanpakken van problemen. Bij problemen is het nodig dat er nieuw aspect te pas komt. Een analoog vraagstuk met andere getallen is zeker geen probleemopgave, ook als ze gemixt wordt met andere vraagstukken.

Voetnoot

Eigenlijk kan de opgave ook in de eerste graad aan bod komen, als eerst een opgave zoals ‘zoek een gelijkbenige driehoek die opnieuw in gelijkbenige driehoeken kan verdeeld worden’ is opgelost. Of als je bij de eigenschappen ‘in een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor’ ook eens een hoekpunt van de rechthoek wegveegt en je dus een rechthoekige driehoek hebt. Zo kun je ook de eigenschap van de zwaartelijn op de schuine zijde doen ontdekken. Maar het probleem van de grasmat is voor leerlingen van de eerste graad zeer uitdagend. Je zou het ook aan je collega (die nog moet overtuigd worden van het belang van uitwis(k)eling) kunnen voorleggen.

Bronnen

• De Maeschack, H., De Meester, L. (1996). Probleemoplossend denken in de wiskunde, nascholing PEDIC Gent.
• Drijvers, P., van Streun, A., Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek, Utrecht: Epsilon.
• Verhenne, M. (2019). Het aanpakken van problemen, nascholing UHasselt.