SpinnenwebWist je dat er een macht van 2 bestaat die in decimale notatie begint met jouw geboortejaar? En met het aantal inwoners van de Benelux? Van deze uitspraken ben ik honderd procent zeker, ook al ken ik je niet, ook al heb ik er geen idee van hoeveel inwoners de Benelux telt.
Deze sterke uitspraken zijn het gevolg van een nog sterkere uitspraak: élk natuurlijk getal is in decimale schrijfwijze het begin van een macht van 2.
Beschouwen we bijvoorbeeld het getal \(123\). Het getal \(2^{90}\) is een van de machten van \(2\) die met 123 begint als ze decimaal wordt genoteerd:
\(2^{90}=1237940039285380274899124224\,.\)
Maar er zijn er nog vele andere: \(2^{379}, 2^{575}, 2^{864}, \dots\).
Je zou ook een langere aanhef dan \(123\) kunnen opsporen, bijvoorbeeld \(1234\) of \(12345\) of \(123456\). De exponent van \(2\) neemt dan zo snel toe dat we het resultaat van de machtsverheffing niet meer kunnen uitschrijven op een overzichtelijk lijntje van deze tekstkolom. Ik noteer dus enkele de uiterst linkse cijfers van de macht.
\(2^{1545}=1234\ldots\)
\(2^{34555}=12345\ldots\)
\(2^{63293}=123456\ldots\)
Het is evident dat we geen gelijkaardige bewering kunnen doen voor het uiteinde van een macht van twee aan de rechterkant. Er is bijvoorbeeld geen enkele macht van twee die eindigt op \(123\). Machten van twee eindigen op een even getal.
Wie geïnteresseerd is in een bewijs van deze straffe stelling, kan die vinden in een gelijknamig artikel op de website van Uitwiskeling. Disclaimer: het artikel bevat geen moeilijke wiskundige begrippen maar het is toch niet eenvoudig. Verwacht ook geen rekenkundige formule die je meteen de gepaste exponent oplevert bij een willekeurig gekozen geheel getal. In praktijk zul je na het lezen van dit bewijs nog altijd een hele serie machten van \(2\) moeten doorlopen om de geschikte exponent te vinden.
Onder de loep