bOOleO, een spel rond logische poorten voor de tweede graad

De nieuwe eindterm rond propositielogica in de 2\(^\text{e}\) graad bevat de koppeling met de logische poorten. In de loep Logica in de tweede graad (UW 37/3) deden we al uit de doeken hoe je die eindterm kleur kunt geven in je klaspraktijk. Na wat grasduinen in de literatuur, kwam ik het Amerikaanse kaartspel bOOleO tegen. bOOleO is een pittig en snel strategiespel gestoeld op Booleaanse logica. Elke speler racet om zijn logische-poorten-piramide sneller te vervolledigen dan zijn tegenstander. De gevreesde NOT-kaart kan de overwinningskansen helemaal doen keren.

Na wat mailtjes met de oorspronkelijke bedenkers, verkregen we de toestemming om het spel aan Vlaamse wiskundeleraars ter beschikking te stellen op voorwaarde dat er geen geld mee verdiend zou worden. Je vindt de afdrukbare kaarten van het spel dan ook bij dit artikel op onze Uitwiskeling-website terug. Ook uitgeverij Die Keure deed haar duit in het zakje en liet het kaartspel professioneel drukken. Wij geven vijf dergelijke kaartspelen weg; op het einde van dit artikel lees je hoe je kunt meedoen aan deze wedstrijd. In dit spinnenwebartikeltje doen we alvast de spelregels uit de doeken.

1. Inhoud kaartspel

Een standaard bOOleO-spel bestaat uit 62 kaarten:

• 6 binaire startwaarden
• 8 NOT-kaarten
• 48 logische poorten

Binaire startwaarden

De binaire startwaarden worden gebruikt om de bits te bepalen die als initiële input dienen waarop spelers hun logische poorten toepassen.

NOT-kaarten

De NOT-kaarten worden gebruikt om een binaire startwaarde om te keren tijdens het verloop van het spel.

Logische poorten

De logische poorten worden gebruikt om twee aangrenzende inputbits te transformeren naar één outputbit. De logische poorten in het spel zijn AND, OR en XOR. Elke logische poort komt in twee versies: één met output 0 en één met output 1.

AND-poort

OR-poort

XOR-poort

2. Start van het spel

Schud de 6 binaire startwaarden door elkaar. Leg ze open naast elkaar neer, zodat de onderste getallen naar één speler gericht zijn en de bovenste getallen naar de andere speler. De bit die voor een speler uiterst rechts ligt, is zijn slotbit. Elke speler moet een logische-poorten-piramide (zie verder) maken die eindigt met deze slotbit. Uiteraard kunnen NOT-kaarten altijd de startwaarden (én bijgevolg ook de slotbit) omkeren.

Schud de overige kaarten. Beide spelers krijgen 4 kaarten in hun hand (spelers mogen elkaars kaarten niet zien). Leg de overgebleven kaarten als gedekte stapel naast de 6 startwaarden. Voorzie daarnaast plaats voor een aflegstapel.

3. Het spel spelen

Bepaal een startspeler door loting.

Een spelbeurt

In elke beurt gaat een speler:

1. eerst 1 kaart trekken uit de gedekte stapel en die in zijn hand nemen.
2. De speler voert vervolgens één van de volgende acties uit:
   • het spelen van 1 logische poort of 1 NOT-kaart uit zijn hand,
   • afleggen van 1 kaart uit zijn hand op de aflegstapel,
   • vervangen van 1 reeds afgelegde logische poort in de eigen piramide door een poort uit zijn hand. De originele logische poort alsook de eventueel onderliggende, ongeldig geworden logische poorten verdwijnen op de aflegstapel (zie verder).
3. Op het einde van een beurt heeft een speler zo altijd opnieuw 4 kaarten in zijn hand.

Indien de gedekte stapel op is, schud je de kaarten van de aflegstapel door elkaar en gebruik je deze kaarten als nieuwe gedekte stapel.

Doel van het spel

Tijdens het spel proberen de spelers een piramide van logische poorten te bouwen. De outputs van deze logische poorten vormen een nieuwe rij bits die als input dienen voor de volgende rij. Dat zie je duidelijk in de onderstaande figuur.

Om een logische poort te spelen, legt de speler de kaart open tussen twee aangrenzende bits die als inputs van de logische poort fungeren. Wanneer een logische poort gespeeld wordt, moet die altijd leiden tot een geldige output. Als bijvoorbeeld de twee inputs 1 en 0 zijn, dan kunnen volgende logische poorten geldig gespeeld worden: AND(0), OR(1) en XOR(1). Speelt een speler een ongeldige logische poort, dan verdwijnt de kaart op de aflegstapel en is de beurt voorbij. Het is aan beide spelers om dit te controleren.

Elke nieuwe rij van logische poorten heeft één bit minder dan de vorige. De speler start met 6 bits, de eerste volledige rij bevat 5 logische poorten en dus 5 bits als output, de tweede volledige rij 4, de derde volledige rij 3, de vierde rij 2 en de vijfde en laatste rij 1.

De speler die er als eerste in slaagt om een volledige piramide te bouwen met als laatste bit de slotbit, wint het spel. Een volledige piramide omvat dus 15 logische poorten. Hieronder zie je zo’n piramide van een winnende speler.

Uiteraard is het niet zo simpel en kan het (noodgedwongen) vervangen van logische poorten en vooral het spelen van NOT-kaarten door de tegenspeler, een opgebouwde piramide stevig uitdunnen door het ongeldig worden van logische poorten.

Logische poorten vervangen

Een speler mag tijdens zijn beurt een reeds afgelegde logische poort in zijn piramide vervangen door een nieuwe logische poort te spelen en de originele logische poort op de aflegstapel te leggen. Als een poort wordt vervangen, dan moet dit opnieuw tot een geldige output leiden. Dit kan ervoor zorgen dat de onderliggende logische poorten, die de nieuwe output als input nemen, ongeldig worden. Al deze ongeldig geworden logische poorten verdwijnen op de aflegstapel.

Voorbeeld:

De speler wil de XOR(1) in de eerste rij vervangen door een OR(1)-kaart. De XOR(1) gaat naar de aflegstapel en OR(1) komt in de plaats. De rest van de piramide blijft geldig.

Voorbeeld:

De speler wil de XOR(1) in de eerste rij vervangen door een AND(0)-kaart. De XOR(1) gaat naar de aflegstapel en AND(0) komt in de plaats. De XOR(1)-kaart op de tweede rij wordt eveneens ongeldig en wordt op de aflegstapel gelegd.

Een NOT-kaart spelen

Wanneer een speler een NOT-kaart speelt, dan duidt hij aan welke binaire startwaarde hij wil omkeren. Vervolgens wordt de NOT-kaart onder de startwaarde gelegd en wordt de startwaarde letterlijk omgekeerd door ze 180° te draaien. NOT-kaarten veranderen dus de startwaarde voor beide spelers! Een NOT-kaart kan enkel op de startwaarden gespeeld worden.

Een NOT-kaart kan ook gespeeld worden om een net gespeelde NOT-kaart ongedaan te maken. De volgende speler mag die meteen spelen om het verwijderen van ongeldige kaarten in de piramides te vermijden. Laat in dat geval de startwaarde in zijn originele staat en leg beide NOT-kaarten op de aflegstapel. Het spelen van een NOT-kaart volgend op een NOT-kaart is voor het overige niet anders dan andere spelersbeurten: ook hier moet de speler een kaart van de gedekte stapel nemen en heeft hij bij het einde van de beurt opnieuw 4 kaarten in zijn hand. Merk op dat verschillende NOT-kaarten elkaar zo kunnen opvolgen, waarbij de ene de andere steeds ongedaan maakt.

Na het spelen van een NOT-kaart (die niet ongedaan gemaakt werd), halen beide spelers al hun ongeldig geworden logische poorten uit het spel en leggen ze op de aflegstapel.

Voorbeeld:

De onderste speler speelt een NOT-kaart op de meest linkse startwaarde. De bovenste speler kan niet reageren met een tegen NOT-kaart. De NOT-kaart wordt onder de startwaarde gelegd en de startwaarde draait 180°. Drie logische poorten van de bovenste speler worden ongeldig en worden afgelegd op de aflegstapel.

4. Einde van het spel

De eerste speler die de startwaarden volledig opgelost krijgt naar de slotbit, wint het spel. In een standaardspel met 6 startwaarden zijn hier 15 logische poorten voor nodig.

5. Strategische tips

• Sommige outputs van logische poorten zijn veel robuuster tegen inputwijzigingen veroorzaakt door NOT-kaarten dan andere. Niet alle logische poorten hebben dus dezelfde strategische waarde.
• Het melden van ongeldige kaarten aan de tegenspeler hoeft niet per se meteen, maar een speler kan tactisch zijn moment afwachten om het op te merken.
• Het spel is niet deterministisch. Een onvooruitziende speler kan tot de voorlaatste rij zijn piramide hebben afgewerkt, om dan te moeten vaststellen dat er geen logische poorten in het spel bestaan om de gevraagde slotbit te bekomen. Vooruit denken is bijgevolg belangrijk. Het toevoegen van NAND, NOR en XNOR poorten aan het basisspel zou dit oplossen, al is dit ‘risico’ een prettige gelaagdheid in het basisspel.

6. Spelvarianten

Je kunt het spel eenvoudig verkorten door met minder startwaarden te spelen. Een spel met 5 startwaarden, heeft al een volledige piramide met 10 logische poorten.
Je kunt daarnaast een onderscheid maken tussen te verwijderen poorten en inactieve poorten. In de bovenstaande speluitleg wordt dit onderscheid niet gemaakt en worden alle ongeldige kaarten meteen naar de aflegstapel verdreven, wat iets makkelijker is. De spelvariant die wel het onderscheid maakt, zorgt voor een iets strategischer en uitdagender spelverloop. Een poort moet dan pas worden verwijderd als (1) de twee inputs niet meer leiden tot de correcte output OF (2) de poort beide inputs verliest.

• Voorbeeld 1: de AND(1) kaart had oorspronkelijk de (correcte) inputs 1 en 1. Eén van de inputs is 0 geworden. De kaart moet worden verwijderd en op de aflegstapel gelegd.
• Voorbeeld 2: door het verwijderen van poorten in eerdere rijen, komt een poort zonder inputs te zitten. Ook deze poort wordt uit het spel verwijderd.

Een poort wordt inactief verklaard zolang ze één geldige input heeft. Alle onderliggende kaarten aan deze kaart zijn eveneens inactief. Met andere woorden: alle kaarten die ergens in de piramide als input een inactieve kaart hebben, zijn inactief. Eén inactieve poort kan zo een cascade aan inactieve poorten veroorzaken. Deze inactieve poorten mogen in het spel blijven (en letterlijk blijven liggen), maar deze poorten kunnen niet meer gebruikt worden als input voor nieuwe poorten tot de ontbrekende input hersteld wordt. Bij het herstellen van een ontbrekende input, is het belangrijk om na te gaan of andere onderliggende kaarten hierdoor niet verwijderd moeten worden.

Je kunt het spel ook met 4 spelers tegelijkertijd spelen door twee basisspellen samen te voegen. Hiervoor zijn twee opties.

• Je kunt met meer, deels overlappende startwaarden werken (bv. 10 waarbij de startwaarden van 1-6 voor een speler zijn, de startwaarden van 5-10, voor een andere speler), idem dito voor de overkant.
• Je kunt een kruis maken van startwaarden. Elke arm van het kruis zijn de startwaarden van 1 speler.

Veel plezier!