Contrast

Juli 2022, Salerno (Italië). Op de schoolbanken van een zomeruniversiteit krijgen we les over meetkunde op een bol. Silvia Benvenuto, een enthousiaste wiskundige van de universiteit van Camerino (ergens tussen Perugia en de Adriatische kust), in Italië bekend voor haar populariserende wiskundeboeken, vuurt vragen op ons af over meetkunde op een bol: wat is hier een driehoek? Een hoek? Een lijnstuk? Een cirkel? De straal van een cirkel? Zij vraagt kritisch door, ze tekent een en ander op het krijtbord en toont het ook op een grote bol. Ook wij beschikken over touwtjes en bollen waarop we met stiften kunnen tekenen. Ze zet ons aan om onze antwoorden te controleren en te verfijnen. Vanzelfsprekendheden zijn plots niet meer zo vanzelfsprekend.

Haar doel is niet om van ons experts te maken in bolmeetkunde. Voor haar is meetkunde op een bol vooral een manier om de ‘gewone’ (euclidische) vlakke meetkunde beter te begrijpen en te appreciëren. Ze laat ons ervaren dat in een definitie elk woord belangrijk kan zijn. Dat sommige (maar niet alle) meetkundige spelregels (postulaten) zowel in het vlak als op een bol gelden. Het feit dat de som van de hoeken in een vlakke driehoek exact 180° is, wordt een interessantere stelling als je weet dat er ook meetkunde bestaat waarbij dit niet zo is. Op een bol is de som van de hoeken van een driehoek groter dan 180°. Op een bol zijn er driehoeken met twee rechte hoeken, of met drie rechte hoeken, wat in het vlak ondenkbaar is. Zijn er ook driehoeken met twee of met drie stompe hoeken?

Door contrastwerking wordt de leerstof helderder en interessanter. Contrast maakt duidelijker. Een wit konijn zie je minder goed in een sneeuwlandschap dan op een groen grasveld.

Dit geldt ook voor veel andere begrippen. Als je meetkundige transformaties behandelt, beperk je je best niet tot transformaties die de ‘vorm’ van de figuren behouden. De eigenschappen van spiegelingen, draaiingen en homothetieën worden interessanter door het contrast met transformaties die `echt transformeren’ en deze eigenschappen niet bezitten. Het begrip isometrie wordt relevanter en interessanter in contrast met niet-isometrieën. Idem voor evenredige verbanden tussen grootheden: een voorbeeld van een verband dat geen evenredigheid is, bv. een kwadratisch verband, is nodig om te zien wat speciaal en interessant is aan een evenredigheid. De (klassieke, tweewaardige) logica wordt voor leerlingen plots (nog) interessanter als ze vernemen dat er nog andere soorten logica bestaan, zoals de driewaardige logica. Om aan te brengen wat een regelmatige veelhoek is, toon je best ook veelhoeken die niet regelmatig zijn en vraag je waarom dit tegenvoorbeelden zijn. Als je duidelijk wilt maken wat een continue functie is, dan horen daar ook tegenvoorbeelden bij, functies die niet continu zijn. Spreken over integreerbare functies is enkel zinvol tegen de achtergrond van enkele niet-integreerbare functies.

Als contrastwerking belangrijk is, dan kun je niet zeggen: “enkel euclidische meetkunde staat op het leerplan, dus mag ik geen andere meetkunde bespreken”, of “enkel evenredige grootheden mogen aan bod komen, andere zijn geen leerstof”…

De leerstof stopt niet aan de randen van de leerstof. Je mag de foto van het witte konijn op het groene grasveld niet uitknippen op de randlijn van het konijn en dan op een wit blad leggen. Dan is het contrast weg.

Michel Roelens, namens de redactie