Een onmogelijk bewijs van de stelling van Pythagoras

Een goniometrisch bewijs van de stelling van Pythagoras

Jullie zagen jaren geleden een bewijs van de stelling van Pythagoras. Er zijn echter al heel veel bewijzen van die stelling gevonden. In 2023 werd nog een nieuw bewijs gevonden, door leerlingen net zoals jullie! Laten we het samen opnieuw opbouwen. We starten van de onderstaande driehoek \(\Delta ABC\).

We bouwen nu eerst een grotere driehoek op, waarin we de stelling van Pythagoras zullen bewijzen.

1. Spiegel \(\Delta ABC\) om \([AC]\).Noem \(B’\) het spiegelbeeld van punt \(B\). Teken een rechte door \(B\) loodrecht op \([AB]\). Verleng \([AB’]\) tot een rechte zodanig dat je het snijpunt \(D\) vindt van de twee rechten waarvan sprake is.

De tekening zou er nu als volgt moeten uitzien:

2. Laat \(B’\) verticaal zakken tot lijnstuk \([BD]\). Noem dat punt dan \(B_1\). Schuif \(B_1\) horizontaal op naar lijnstuk \([B’D]\).
Noem dat punt dan \(B’_1\). Herhaal dit proces tot in het oneindige (in praktijk: 3 à 4 keer).

De tekening zou er nu als de onderstaande moeten uitzien.

We kijken nu in detail naar deze figuur. Verderop, na de lesactiviteit, vind je een uitvergroot exemplaar met aangeduide afmetingen. We analyseren waar die vandaan komen.

3. Waarom is \(\widehat{DBB’}=\alpha\)? En wat betekent dat voor \(\widehat{B’B_1B}\)?

Per constructie staat \([BD]\) loodrecht op \([AB]\). Uit \(\Delta ABC\) weten we dat \(\alpha\) en \(\beta\) complementaire hoeken zijn. Hieruit volgt onmiddellijk dat \(\widehat{DBB’} = \alpha\). Aangezien \(\Delta BB_1B’\) een rechthoekige driehoek is, volgt dan op gelijkaardige wijze dat \(\widehat{B’B_1B} = \beta\).

4. Waarom is \(\widehat{B_1B’B’_1}=\alpha\)? En kun je deze argumentatie ook elders in de tekening toepassen, of is er iets uitzonderlijks aan deze hoek?

De hoeken in \(B’\) moeten samen 180 graden vormen, aangezien ze aan een rechte grenzen. We weten al dat \(\widehat{AB’C}=\beta\) vanwege de spiegeling van \(\Delta ABC\). Daarnaast is \(\widehat{BB’B_1}=90^{\circ}\) per constructie. Wegens complementariteit zoals voordien is dus \(\widehat{B_1B’B’_1}=\alpha\).

Dit patroon zet zich ook verder.In de constructie teken je afwisselend horizontale en verticale lijnen, wat betekent dat bijvoorbeeld \([B’B_1]\), \([B’_1B_2]\), \([B’_2B_3]\), \ldots allemaal evenwijdig zijn. Deze lijnstukken worden allemaal gesneden door lijnstuk \([AD]\), waardoor de overeenkomstige hoeken gelijk zijn:

\( \alpha = \widehat{B_1B’B’_1} = \widehat{B_2B’_1B’_2} = \ldots \)

Een gelijkaardige redenering gaat op voor de horizontale lijnstukken in de constructie.

5. Is \(\Delta ABC\) gelijkvormig met \(\Delta BB_1B’\)? Zoja, geef de gelijkvormigheidsfactor in functie van de variabelen \(a\), \(b\) en \(c\). Wat leer je hierdoor over de zijden van \(\Delta BB_1B’\)?

Deze driehoeken zijn gelijkvormig, aangezien de hoeken overeenkomen. Om de gelijkvormigheidsfactor te bepalen kijken we naar lijnstuk \([AC]\) en \([BB’]\). We starten in \(\Delta ABC\) met een lengte van \(b\) en krijgen een lengte van \(2a\) in \(\Delta BB_1B’\). De gelijkvormigheidsfactor is dus \(\frac{2a}{b}\). Dit levert ook de lengtes \(\frac{2ac}{b}\) en \(\frac{2a^2}{b}\) op van de zijden van \(\Delta BB_1B’\).

6. Op de tekening lijken alle driehoeken binnen \(\Delta BB’D\) gelijkvormig met \(\Delta BB_1B’\). Klopt dit? Zoja, wat zijn de gelijkvormigheidsfactoren?

Ze zijn allemaal gelijkvormig wegens gelijke overeenstemmende hoeken. Kijken we naar \(\Delta BB_1B’\) en \(\Delta B’B’_1B_1\), dan is de gelijkvormigheidsfactor \(\frac{\frac{2a^2}{b}}{2a} = \frac{a}{b}\), vanwege de overeenkomst tussen lijnstuk \([BB’]\) en \([B’B_1]\). Kijken we naar \(\Delta B’B’_1B_1\) en \(\Delta B_1B_2B’_1\), dan is de gelijkvormigheidsfactor ook \(\frac{\frac{2a^3}{b^2}}{\frac{2a^2}{b}}=\frac{a}{b}\), vanwege de overeenkomst tussen lijnstuk \([B’B_1]\) en \([B_1B’_1]\). Dit patroon zet zich nu telkens verder: iedere overgang naar de volgende driehoek in \(\Delta BB’D\) betekent een vermenigvuldiging van de zijden met \(\frac{a}{b}\).

7. Geef een driehoek die niet gelijkvormig is met de rest.

De grote driehoek \(DAB\) heeft hoekgroottes \(2\alpha\), \(90^{\circ}\) en \(90^{\circ}-2\alpha\), en is dus niet gelijkvormig met de andere. Ook driehoek \(BB’D\) en \(BAB’\) zijn niet gelijkvorming met de rest, om gelijkaardige redenen.

Nu hebben we dus een grote driehoek \(\Delta DAB\) die volledig bestaat uit oneindig veel gelijkvormige driehoeken.
Die driehoek zullen we gebruiken om de stelling van Pythagoras open te kraken.

8. Vind een uitdrukking in functie van \(a\), \(b\) en \(c\) voor \(\sin{(2\alpha)}\) in \(\Delta BAB’\). Hint: je kunt de sinusregel gebruiken.

Als je de sinusregel toepast in \(\Delta BAB’\), krijg je

\( \frac{\sin{(2\alpha)}}{2a} = \frac{\sin{\beta}}{c} \)

\( \Leftrightarrow \sin{(2\alpha)} = \frac{2a\sin{\beta}}{c} \)

Je moet hierin nog \(\sin{\beta}\) vervangen door een uitdrukking in \(a\), \(b\) en \(c\). Die vind je in \(\Delta ABC\), wat uiteindelijk de onderstaande gelijkheid oplevert.

\( \sin{(2\alpha)} = \frac{2ab}{c^2} \)

9. Vind een uitdrukking in functie van \(a\), \(b\) en \(c\) voor \(|BD|\). Vind ook zo’n uitdrukking voor \(|AD|\).

De lengte \(|BD|\) is de som van een meetkundige rij met als eerste term \(\frac{2ac}{b}\) en met ratio \(\frac{a^2}{b^2}\).
Dit betekent dat

\( |BD| = \frac{2ac}{b}\cdot \frac{1}{1-\frac{a^2}{b^2}} = \frac{c}{b^2-a^2}\cdot 2ab \)

Gelijkaardig is de lengte \(|AD|\) bijna de som van een meetkundige rij; er is één extra term.

\( |AD| = c + 2c\cdot \frac{a^2}{b^2} + 2c \cdot \frac{a^4}{b^4} + \ldots \)
\(= c + 2c\cdot \frac{a^2}{b^2}\cdot \frac{1}{1-\frac{a^2}{b^2}} \)
\(= \frac{c}{b^2-a^2}\cdot \left(a^2+b^2\right) \)

10. Vind een uitdrukking in functie van \(a\), \(b\) en \(c\) voor \(\sin{(2\alpha)}\) in \(\Delta DAB\). Hoe maak je nu het bewijs voor de stelling van Pythagoras af?

In driehoek \(\Delta DAB\) vinden we met de definitie van de sinus voor een scherpe hoek:

\( \sin{(2\alpha)}=\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{2ab}{a^2+b^2} \)

Stellen we vervolgens de twee uitdrukkingen voor \(\sin{(2\alpha)}\) gelijk aan elkaar, dan vinden we

\(\frac{2ab}{a^2+b^2} \overset{\Delta DAB}{=} \sin{(2\alpha)} \overset{\Delta BAB’}{=} \frac{2ab}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2 = c^2\)