Gemotiveerde aanbreng

In de tweede graad wordt op dit moment een vergelijking van een rechte in het vlak met vectoren aangebracht: richtingsvector, vectorvergelijking, parametervoorstelling. De cartesiaanse vergelijking (omgedoopt tot ‘cartesische’ vergelijking) ontstaat door de parameter uit de parametervoorstelling te elimineren. Voor de loodrechte stand en de afstand punt-vlak wordt met een normaalvector van de rechte en met het inproduct (of scalair product) van vectoren gewerkt.

Voor mezelf is dit niet nieuw. Ik ken dit van de ruimtemeetkunde in de derde graad. In de tweede graad kwamen tot voor kort echter geen richtingsvectoren, parametervoorstellingen en normaalvectoren voor. Voor de vergelijking van een rechte vertrok men van wat leerlingen al kenden van de voorschriften van eerstegraadsfuncties. Men bracht vergelijkingen van de vorm \(y=ax+b\) (met \(a\) de richtingscoëfficiënt en \(b\) de \(y\)-coördinaat van het snijpunt met de \(y\)-as) en vergelijkingen van de vorm \(x=c\) samen in een algemene vorm \(ux+vy+w=0\).

Hierover kun je twee standpunten innemen.

• Je kunt zeggen: als je de afleiding in de tweede graad meteen met richtings- en normaalvectoren aanpakt, dan kennen de leerlingen die al tegen dat ze dit in de ruimtemeetkunde zullen zien. Dit is eigenlijk hetzelfde op de dimensie na, dus waarom zou je het dan op twee verschillende manieren aanbrengen? Dat hetzelfde in dimensie 2 en 3 (en hoger) terugkomt, is een mooi aspect van wiskunde. Bovendien is het belangrijk dat leerlingen vlot leren werken met vectoren. Die kunnen ze in fysica en later bij meetkundige toepassingen van matrices goed gebruiken.
• Je kunt ook zeggen: op het moment dat je in de tweede graad vergelijkingen van rechten aanbrengt, is er voor de leerlingen geen echte reden om richtings- en normaalvectoren te gebruiken. Die voer je beter in de derde graad in, wanneer het wel ‘gemotiveerd’ is. In het vlak volstaat één getal om de richting van een rechte vast te leggen. Wanneer je dan in de derde graad geconfronteerd wordt met een rechte in de ruimte, dan stelt zich een interessant probleem. Een richtingscoëfficiënt, één getal, volstaat in de ruimte niet meer om de richting van die rechte te bepalen. Je hebt een hele kegel van rechten die ‘even steil’ zijn ten opzichte van het \(xy\)-vlak. Op dat moment is het invoeren van richtingsvectoren echt gemotiveerd. Dit interessante moment valt nu weg door de ‘spoiler’ over richtingsvectoren in de tweede graad. Het probleem is immers geen probleem meer omdat het twee jaar eerder al is opgelost.

Ik begrijp beide standpunten. Er zijn voor beide standpunten goede argumenten, die ook binnen de redactie over en weer gaan bij het schrijven van dit tekstje. Toch voel ik meer voor het tweede standpunt. Voor mij gaat het hier niet over vectoren of geen vectoren – vectoren zijn zeker belangrijk – maar over het gemotiveerd aanbrengen van de leerstof, vanuit problemen die de leerlingen zich goed kunnen voorstellen. Hierbij denk ik zeker niet in de eerste plaats aan verhaaltjes uit het zogenaamde dagelijkse leven, maar aan problemen binnen de wiskunde die de aanbreng van nieuwe begrippen nodig maken.

Een gelijkaardig voorbeeld waarbij deze ”motivatie’ meespeelt, vinden we in de goniometrie. In het derde jaar dienen sinussen, cosinussen en tangensen voor het oplossen van rechthoekige driehoeken. Hier is geen goniometrische cirkel nodig (iedereen is het erover eens, denk ik). In het vierde jaar wil je ook willekeurige driehoeken aanpakken. Daarbij heb je de goniometrische cirkel nodig om betekenis te geven aan de sinus, de cosinus en de tangens van een stompe hoek. Hiervoor volstaan de eerste twee kwadranten. Het is een kleine moeite om het derde en het vierde kwadrant er even bij te nemen, maar eigenlijk is dit op dat moment niet ‘gemotiveerd’. Zeker het ‘ronddraaien’ op de goniometrische cirkel met ‘\(+k \cdot 360^\circ\) (\(k \in \mathbb{Z}\))’ is, volgens mij, zinvoller in de derde graad, in de context van goniometrische functies die uiteraard niet stoppen na een (halve) periode. De getijden die je ermee wilt modelleren stoppen ook niet wanneer het zeewater één keer op en neer is gegaan.

Michel Roelens, namens de redactie