De overkapping van een busstation

Ons nieuw schoolgebouw (TISM, Bree) is sinds enkele jaren ingeplant in de scholencampus van de scholengemeenschap Bree, met centraal een nieuw busstation. Op dit busstation is een mooie, moderne overkapping gebouwd. De leerlingen van 6 Industriële Wetenschappen (8 u wiskunde per week) kijken vanuit hun klaslokaal op deze overkapping en tussen de lessen door kwam de vorm van deze overkapping regelmatig ter sprake. Zij hebben dan ook het plan opgevat om deze vorm grondig te evalueren en dat heeft geleid tot een boeiend verhaal over 3D-grafieken van functies met twee onafhankelijke variabelen.

De eerste conclusie was dat de omtreklijn van de overkapping in bovenaanzicht de vorm heeft van een ellips. In de ene richting (de \(x\)-richting) is deze ellips naar beneden gebogen als een bergparabool en in de andere richting (de \(y\)-richting) naar boven als een dalparabool. De leerlingen kwamen al snel tot een cartesiaanse vergelijking

\(z=-a.x^2+b.y^2,\)

waarbij de parameters \(a\) en \(b\) (beide positief) de kromming in respectievelijk de \(x\)– en \(y\)-richting bepalen. Even googelen leerde hen dat dit de vergelijking is van een hyperbolische paraboloïde (ook wel zadeloppervlak genoemd) en dat

\(z=a \cdot x^2+b \cdot y^2\)

de vergelijking is van een elliptische paraboloïde.

Busstation, op de achtergrond de leslokalen van 6IW

Als men de doorsnede neemt van de hyperbolische paraboloïde met het vlak evenwijdig met het \(yz\)-vlak, respectievelijk het \(xz\)-vlak, verkrijgt men een parabool met vergelijking

\(z=b \cdot y^2+k,\)

respectievelijk

\(z=-a \cdot x^2+k.\)

De doorsnede met een vlak evenwijdig met het \(xy\)-vlak is een hyperbool met vergelijking

\(k=- a \cdot x^2+b \cdot y^2.\)

Voor \(k=0\) is dit een ontaarde hyperbool die bestaat uit twee snijdende rechten met vergelijkingen

\(y=\frac{a}{b} \cdot x \hspace{0.5cm}\textrm{en} \hspace{0.5cm}y=-\frac{a}{b} \cdot x.\)

Bij een elliptische paraboloïde krijgt men als doorsnede met een vlak evenwijdig met het \(xz\)-vlak of met het \(yz\)-vlak steeds een dalparabool en als doorsnede met een horizontaal vlak een ellips. Voor \(k = 0\) ontaardt deze ellips in een punt, de oorsprong. Deze doorsneden verklaren de namen hyperbolische en elliptische paraboloïde.

De hyperbolische paraboloïde

De elliptische paraboloïde

Deze functies werden door de leerlingen ook in GeoGebra ingevoerd. Ze gebruikten voor \(a\) en \(b\) de waarde \(\sqrt{2}\) om ongeveer de kromming van het busstation te verkrijgen.

Busstation vanuit de leslokalen van 6IW

De omtrekslijn heeft in bovenaanzicht de vorm van een ellips. In de analyse hebben de leerlingen o.a. bij het berekenen van de oppervlakte van een ellips m.b.v. een bepaalde integraal gebruik gemaakt van parametervergelijkingen van de ellips. Ze zijn zeer eenvoudig in te geven in Geogebra. Voor de \(x\)– en \(y\)-variabele gebruikten ze deze parametervergelijkingen. Met de z-variabele modelleerden ze de verticale kromming van de overspanning boven het busstation. Hiervoor gebruikten ze de vergelijking van de hyperbolische paraboloïde.

\(\begin{cases}
x &= a \cdot \cos u \\
y &= b \cdot \sin u \\
z &= -c \cdot \cos^2 u + d \cdot \sin^2 u
\end{cases} \textrm{met } 0 \leq u < 2\pi \)

De parameters \(a\) en \(b\) in deze vergelijkingen bepalen de grote en de kleine as van het elliptische bovenaanzicht van de overspanning. De parameters \(c\) en \(d\) bepalen de krommingen in de \(x\)– en de \(y\)-richting. Aanvankelijke namen de leerlingen in GeoGebra de waarden 10 en 7,7 voor \(a\) en \(b\) en \(\sqrt{2}\) voor \(c\) en \(d\). Later maakten ze een versie met aanpasbare parameters.

Na het modelleren van de kromme buis die het dak van het busstation afbakent, moest ook het tentzeil nog gemodelleerd worden als een tweedimensionaal gebogen oppervlak. Hiervoor moest een tweede parameter, \(v\), in de vergelijkingen opgenomen worden. Door de parameter \(v\) van 0 naar 1 te laten lopen, kon ervoor gezorgd worden dat de \(x\)-waarde varieerde van 0 naar \(a \cdot \cos u\) en de \(y\)-waarde van 0 naar \(a \cdot \sin u\). De parametervergelijkingen voor het gebogen oppervlak kregen de volgende vorm:

\( \begin{cases}
x &= a \cdot v \cdot \cos u \\
y &= b \cdot v \cdot \sin u \\
z &= -c \cdot (v \cdot \cos u)^2 + d \cdot (v \cdot \sin u)^2
\end{cases}
\textrm{met} 0\leq u < 2\pi \textrm{ en } 0 \leq v \leq 1.\)

Op de site http://lkwadraat.telenet.be/wsk/content/bijzkr/busstation.html kan je het GeoGebrabestand van de dakoverspanning bekijken en kan je de parameters met schuifknoppen veranderen (lees verder onder het applet):

Met de schuifknoppen \(a\) en \(b\) kun je de lengte en de breedte van de ellips aanpassen.
Met de schuifknoppen c en \(d\) verander je de helling in de lengte- en breedte richting.
Met de schuifknop \(h\) kun je de hoogte veranderen.
In de parametervergelijking \(e\) (de omtrek) loopt de parameter \(u\) van 0 tot \(2\pi \) zodat een ellips wordt gevormd.
In de parametervergelijking \(k\)  (het oppervlak) heeft de parameter u dezelfde functie.
De parameter \(v\) loopt van 0 tot 1, waardoor de lengte en breedte van de ellips varieert van 0 tot de gewenste eindwaarde (\(a\) en \(b\)), zodat het oppervlak binnen de ellips wordt opgevuld.
De figuur kan in alle richtingen geroteerd worden.

Er is ook een link van deze overspanning met de fysica. De vorm van het zeil is een kopie van een zeepvlies dat gevormd wordt als men de gekromde buis, natuurlijk in een schaalmodel, zou onderdompelen in een sterk zeepsop. Een zeepvlies neemt door de oppervlaktespanning van nature uit altijd de kleinste oppervlakte in en dat is dan ook de reden dat er geen rimpelingen in het vlak voorkomen. De wiskundige vergelijking stelt een continu gekromd oppervlak voor. In werkelijkheid bestaat de constructie uit twee rijen van vijftien vlakke zeillappen. Door hun specifieke vorm ontstaat bij het aan elkaar laserlassen een gebogen oppervlak. Voor het berekenen van deze specifieke vorm gebruikt men de force density method uit de dynamica. Deze methode steunt onder andere op het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen, maar hierover uitweiden zou ons te ver leiden.

Deze overkapping voor ons schoolgebouw biedt voor onze leerlingen dus heel wat interessante toepassingen uit hun wiskundeleerstof: functies met twee variabelen, parametervergelijkingen, kegelsneden … Wellicht kan de leerkracht fysica ook handig inspelen op de architecturale constructie in onze voortuin.