permutatie

Een groep is een algebraïsche structuur, een abstract patroon dat je terugvindt bij meetkundige transformaties, getallen, matrices, veeltermen… en dat een sleutelbegrip vormt in de hogere wiskunde, de fysica en de cryptografie. Overal waar het gaat over een invariant, iets dat behouden blijft wanneer iets verandert, zit daar een groep achter. Leerlingen van de derde graad in richtingen met ‘gevorderde wiskunde’ zullen daar in de nabije toekomst mee kennis maken. We brengen groepen en cayleytabellen aan vanuit twee contexten: de symmetrie van vlakke figurenen en het modulorekenen. Groepen in verschillende contexten zijn soms ‘hetzelfde’ en dit motiveert het werken in een abstracte groep. Na enkele abstracte bewijsjes en de studie van voorbeelden en tegenvoorbeelden, keren we terug naar de symmetrie maar dan in de ruimte. Het ‘slim tellen’ van symmetrieën van veelvlakken leidt tot de stelling van Lagrange over deelgroepen en nevenklassen.

Het eerste deel is een lessenreeks over telproblemen voor leerlingen van de derde graad in een wiskundeluwe richting. Veel aandacht gaat naar het analyseren van telproblemen alvorens te beginnen rekenen. De combinaties, variaties en permutaties, met of zonder herhaling, worden gekoppeld aan typevoorbeelden en gecombineerd in enkele complexere telproblemen. Het tweede deel, voor leerlingen in sterke wiskunderichtingen, bevat twee onderzoeksonderwerpen: het tellen van kleuringen van objecten met symmetrie en het tellen van muzikale akkoorden.